복소수 기초

복소수는 방정식의 해를 구할 때, 실수만 고려하면 해가 존재하지 않는 경우가 발생하여

모든 방정식의 해를 구할 수 있도록 도입한 상상의 숫자이다.

 

복소수

 

복소 평면(가우스 평면)

일반적으로 i 또는 j 로 표시하며 복소수를 좌표계에 표시할 때는 복소평면을 사용한다.

복소 평면

이때, x축(Re)은 실수부(Real number), y축(Im)은 허수부(Imaginary number)를 나타낸다.

 

 

켤레 복소수

출처 : wikipedia

복소수 z=x+jy에 대해 x-jy를 z의 켤레복소수라고 하며 이를 , 바z로 나타낸다.

켤레복소수

 

복소수의 극형식(절대값, 편각(argument))

복소수의 극 형식

복소수는 극 좌표계로 나타낼 수 있는데 이때는 복소수Z의 크기(절대값)와 Z와 실수부가 이루는 각도(θ, 위상각(phase angle))로 값을 나타낼 수 있다. 이를 복소수 Z의 극형식이라고 한다.

 

복소수의 크기

복소수 Z의 크기(절대값)은 루트(x^2+y^2)으로, 크기만을 나타내는 실수이다.

 

 

복소수*켤레복소수

복소수의 크기는 루트(복소수*켤레복소수)를 한 값과 동일하다.

 

 

편각

Z와 실수부가 이루는 각도(θ )는 편각(argument)라고 하며, arg(z)로 나타낸다. 복소수의 편각도 복소수의 크기처럼 실수이다.

즉, x,y를 알고 있으면 복소수의 크기와 편각을 알 수 있다.

 

 

 

 

오일러 공식, 테일러 급수

오일러 공식

⦟θ 는 e^jθ 이며 오일러 공식을 적용하면 위의 식처럼 나타난다.

 

 

테일러 급수

이는 exp, sin, cos에 대한 테일러 급수에서 얻을 수 있다.

지수함수에서 x대신 jθ 를 넣고 삼각함수에서 x대신 θ 를 넣으면 아래처럼 식이 유도된다.

 

즉, 복소수의 크기와 편각을 알고 있으면, x,y의 크기를 구할 수 있다.

 

 

복소수의 계산

출처 : wikipedia

복소평면에서 볼수 있듯이 복소수는 평면 상의 한 점을 표현하기 때문에 복소수에 기하학적으로 계산이 가능하다.

복소수의 계산에 오일러 공식을 적용하면, 곱셈과 나눗셈은 아래와 같다.

복소수의 곱셈, 나눗셈

즉, 곱셈을 할 경우 편각에 덧셈이 적용되고, 나눗셈을 할 경우 편각에 뺄셈이 적용된다.